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這是一份最科學的拋硬幣教程。

我們常會反覆糾結某個問題而難以迅速作出決定，比如，今晚吃炸醬麵還是麥當勞；又比如，要不要接受某個工作機會；或者是今晚要不要去跟TA表白……

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這時，很多人會拋個硬幣，用硬幣的正反面替自己做出選擇。甚至在一些重大場合，人們也常用拋硬幣來做重要決定，比如世界盃球賽中，裁判員會通過拋硬幣決定哪隻隊伍先開球。

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初中數學課本告訴我們，拋一枚質地均勻的硬幣，得到正反面的概率相等。因此，人們認為硬幣替自己做出的選擇一定是公正的，沒有私心的。不少數學家也做過實驗證明，當拋硬幣次數足夠多時，得到正反面的頻次接近1:1，包括曾拋了2萬多次硬幣的數理統計學創始者卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）。

但如果我現在告訴你，拋硬幣得到兩面向上的概率其實不相等，你又怎麼看？

Part.1

兩面概率不相等

最近，一群無聊的科學家聚在一起，用46種不同的硬幣拋了350 757次，總耗時約20個小時。然後他們發現，拋出的硬幣落下後，向上的那一面和硬幣拋出前的初始面相同的概率略高，約為51%。

他們就這樣拋了20個小時的硬幣（來源：Coin Tossing Team via YouTube）

也就是說，假如你將硬幣拋離手中時，它是正面向上，那最終硬幣落下時，其正面向上的概率更高，反之亦然。

他們還發現，一些人拋硬幣得到和起始面相同的那一面的概率更高；而另一些人則更接近理論值，即得到兩面的概率都是50%。他們將這項研究發表了在預印本網站arXiv上，還未經同行評審。

很顯然，這說明，特定的拋硬幣方式，或許可以讓特定面向上的概率更高。

那麼，有沒有可能通過練習，讓拋出去的硬幣落下時，永遠是自己想要的那一面向上呢？

理論上是可以的。

數學家佩爾西・戴康尼斯（Persi Diaconis）在成為美國史丹佛大學的數學和統計學教授之前，曾做過魔術師。他經常研究與「賭博」相關的數學，比如如何洗牌、如何擲骰子，當然也包括如何拋硬幣。

熱衷於紙牌、骰子、輪盤等的史丹佛數學家佩爾西・戴康尼斯（圖片來源：Stanford University）

早在2007年，戴康尼斯和他的團隊就在論文中展示了一個拋硬幣裝置，這個裝置將硬幣拋出後落到指定位置，最終硬幣向上的那一面在100%的情況下都與它的起始面相同。

戴康尼斯和同事做出的拋硬幣裝置，拋出的硬幣能100%得到與起始面相同的那一面（Diaconis et al, 2007）

而人類在用手拋硬幣時，也可以達到這樣的效果，比如一些魔術師就可以通過一些技巧控制拋硬幣的結果。

魔術師能控制拋硬幣的結果（來源：SCAM NATION via youtube）

其實如果掌握了原理，多加練習，你也可以做到。所以我們就先來學習一下原理，然後大家回家自己練習。

首先我們需要知道，標準情況下，拋向空中的硬幣是怎樣運動的。

忽略空氣阻力的影響，當我們將硬幣拋向空中，硬幣會沿著一個位於硬幣平面且平行於地面的「軸」，做翻轉運動。學過物理的朋友們可以很快反應過來，這個「軸」正好是硬幣旋轉的角動量（angular momentum）所在的直線。

來源：Numberphile via YouTube

來源：Numberphile via YouTube，製圖：冬鳶

然後我們用一點簡單的中學物理來分析一下硬幣的運動。

假設硬幣以初速度v_z從距地面高度z₀的手中被拋出，t秒後落回到手上，那麼通過z₀+ tv_z− (g/2)(t)²= z₀可以計算出t = v_z/(g/2)。

假設硬幣在空中每秒翻轉ω次。在拋出硬幣到硬幣回到手上的過程中，如果硬幣翻轉了偶數次（即2j ωv_z/(g/2) 2j+1，其中j為整數），那麼硬幣最終向上的一面與初始面相同；如果翻轉了奇數次（即2j+1 ωv_z/(g/2) 2j+2，其中j為整數），則與初始面相反。

來源：wikiHow via YouTube

所以只要你能精確控制硬幣的初速度、高度和翻轉速度，就能精確控制拋硬幣的結果。

如果我們在硬幣翻轉了整數次時，做出轉速ω關於時間t的圖像，可以得到很多條雙曲線，如下圖所示：

圖片來源：Diaconis et al, 2007

假如硬幣初始面為正面，而翻轉速度和時間（ω,t）落在圖中的陰影裡，最終正面向上；若是轉速和時間位於陰影之外的空白部分，結果則是反面朝上。

但是，此時陰影部分的面積和空白部分的面積是相等的，得到正面和反面的概率仍然是1:1。如果要出現上文提到的偏差，又該如何操作呢？

Part.2

進動

以上分析是基於標準情況，拋出的硬幣沿著平行與地面的「軸」翻轉，也就是硬幣旋轉的角動量向量平行於地面。

但戴康尼斯指出，這只是一種特殊情況。實際上，很多人拋出的硬幣在空中旋轉時，角動量是與地面不平行的。

仔細觀察可以發現這枚硬幣在空中並不是繞著平行與地面的「軸」翻轉的（來源：Sound/Video Impressions via youtube）

我們可以用如下的模型來解釋：

圖片來源：Diaconis et al, 2007

假設硬幣拋出時正面向上，則垂直於硬幣平面的法線（n）與角動量（M）會存在一個夾角（ψ），當硬幣轉動的軸與地面不平行（即ψ不為90°）時，硬幣法線n就會繞著角動量M旋轉，這也叫進動（precession）。

戴康尼斯正在解釋硬幣翻轉中的進動（來源：Numberphile via YouTube）

若硬幣在拋出後的t時刻落回手上，當此時硬幣法線N(t)與垂直地面方向的向量K的夾角餘弦τ(t) 大於0時，硬幣正面向上；小於0時，反面向上（起始面為正面）

而對於這個餘弦τ(t) ，我們可以用τ(t)=cos²ψ +sin²ψcos(ω_Nt) 這個式子來計算，其中ω_N為硬幣法線繞角動量旋轉的角速度。

如果我們將硬幣的法線向量N(t)在空中劃過的區域看做一個球面，在這樣的運動方式下，法線在上半球（正面向上）停留的時間是大於或等於在下半球（反面向上）停留的時間的。

圖片來源：Diaconis et al, 2007

最終可以算出，如果硬幣的起始面為正面，那麼硬幣落回手上時正面向上的概率與ψ的關係是：

用圖像表示就是

圖片來源：Diaconis et al, 2007

由此可以直觀地看到，在硬幣初始面為正面時，只有當ψ為直角，硬幣落下時正面朝上的概率才是1/2，其餘情況下都大於1/2。

而當ψ小於45°時，硬幣雖然也在旋轉，但實際上整個過程中，並沒有翻轉到另一面。因此，在這種情況下，不論硬幣拋得有多高，最終落下來時依然是和拋出時保持相同的一面向上——這便是拋硬幣魔術師所使用的手法。

魔術師拋出的硬幣在空中沒有翻轉至另一面（來源：SCAM NATION via YouTube）

而當ψ為0°時，硬幣甚至可以沒有豎直方向的翻轉，完全直上直下。

來源：Numberphile via YouTube

事實上，這種運動方式在我們生活中非常常見，比較典型的，就是我們的地球。地球在自轉的同時，赤道平面的法線也在繞一個軸轉動：

看這地球的旋轉像不像正在翻轉的硬幣？（來源：Steven Sanders via youtube）

總結一下就是，因為很多人拋出的硬幣在空中翻轉時存在進動，導致在給定硬幣初始面的情況下，會使得最終硬幣落回手上時，正反面向上的概率不相等。

不過，由於大多數人拋硬幣的時候，不會關注硬幣的起始面。因此，在起始面隨機的前提下，拋硬幣的最終結果，正反面概率仍然是1:1（預印本論文中有證明過程）。

所以，以後如果和別人拋硬幣打賭，你可以練一練上面教的拋硬幣技巧來「作弊」；如果是別人拋硬幣，那就讓他不要用手接，讓硬幣直接掉地上，因為這會使硬幣再彈起來，到空中再翻轉幾圈，使結果更加隨機。

硬幣掉在地上之後再彈起來（來源：Numberphile via YouTube）

參考文獻:

https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

https://arxiv.org/abs/2310.04153

http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Precession

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg

來源：環球科學