一個美學術語
在我們所生活的這個世界中，對稱性似乎無處不在。它不僅存在於我們的身體中，也存在於藝術、建築和音樂之中。除此之外，在科學和數學領域中，對稱性也至關重要。一個理論會因為它包含對稱性而美麗，而對這些對稱性的研究，反過來又引領了理論的發展。
作為一個美學術語，對稱性可以是一種平衡或和諧的感覺，就像拉斐爾的壁畫《雅典學院》中人物的排列；它也可以是關於一個對稱軸的完美或近乎完美的反射，就像大多數人類和其他脊椎動物的兩側對稱。
《雅典學院》（圖/Public Domain）
數學家和物理學家對這個術語的使用更符合後一種描述：正式地說，如果一個系統在經歷變換之後，看起來仍然一樣，那麼它就具有對稱性。例如雪花在旋轉六分之一圈（60°），或繞中心軸翻轉後，看起來是一樣的；再比如圓經過任何程度的旋轉，或關於任何穿過圓心的直線反射都不會改變。
旋轉60°，看起來就與旋轉前一樣。（圖/原理）
有限與無限
對稱性也與數學中的群論有關。再以雪花為例，我們可以通過將它旋轉1/6圈和將其反射來創建一種新的對稱，所有的這些對稱組合在一起，形成了雪花的對稱群。這個群是有限的，因為只有有限數量的操作可以準確地維持雪花的樣子。
有限對稱的完整目錄是上個世紀最重要的數學成就之一。這個目錄以幾千頁的證明的形式，對有限單群（所有有限群的基本構建塊），進行了分類。有限單群的分類涵蓋了像正方形或雪花這樣的物體，它們的對稱性是旋轉和反射的離散集合。許多有限群並不涵蓋任何有形的三維形狀的對稱性，而是描述的是抽象的、高維物體的對稱性。
像圓這樣能夠以任意角度旋轉的物體，就有無限對稱群。這些群對應於連續的變換族，直接關係到上世紀對稱性與物理學之間的一些最重要的關係，比如愛因斯坦的相對論。
數學家在尋找新的探索領域方面也從物理學中獲得了靈感。這種關係在同調鏡面對稱領域中表現得最為明顯。同調鏡面對稱屬於數學領域的範疇，但它是從弦理論發展而來的。在弦理論中，粒子被認為是微小的、振動的弦。由於控制理論的方程具有對稱性，弦不僅佔據了我們熟悉的三維空間，還有六個額外的維度盤繞成一種被稱為卡拉比-丘流形的結構。
卡拉比-丘流形是弦理論學家用來給時空增加額外維度的數學結構。這些物體具有美麗的對稱性：一對對看起來完全不同的卡拉比-丘流形實際上編碼了相同的物理特性。（圖/Wikipedia）
當數學家仔細觀察這些流形時，他們注意到了一種美麗的對稱性：看起來完全不同的卡拉比-丘流形對，實際上編碼了相同的物理學原理。這些映象對為數學研究開闢了一條全新的道路，而且隨著研究人員在其他流形中發現類似的「映象對」，這條道路正在蓬勃發展。
從對稱性到新理論
儘管對稱性引導著研究人員找到了新的理論和關係，但物理學或許有天能夠超越它。現代物理學的一個主要推動力，就是尋求一種能將支配微觀世界的量子理論與描述引力的廣義相對論結合起來的萬有理論（弦理論通常被認為是萬有理論的主要候選理論）。量子理論為理解自然界中的其他基本力（即電磁力、弱力和強力）提供了框架，但到目前為止，還沒有任何被認可的方法能用量子理論的語言來描述引力。
在弦理論中，物理學家胡安·馬爾達西那於1997年發現的AdS/CFT對偶就提供了一條有前景的前進道路。馬爾達西那將一個叫做反德西特（anti-de Sitter, AdS）空間的時空區域內的引力，與圍繞著該區域邊界運動的粒子的量子描述（即共形場論，Conformal Field Theory, CFT）連接在一起。但這條道路是有代價的，這個代價就是對稱性。一直以來，研究人員推測，量子引力的統一理論需要打破兩種對稱中的一種，即整體對稱性（另一種是規範對稱性）。
有研究表明，如果這個統一理論來自AdS/CFT對偶，那麼整體對稱性確實會被犧牲：沒有一個與弦理論以及AdS/CFT對應相一致的量子引力公式，可以在描述其數學框架中具有整體對稱性。
這樣的結果是否意味著我們必須把對稱性拋在腦後才能取得未來的科學進步？雖然整體對稱性必須被放棄，但許多局域對稱性仍然存在。也許過去的研究揭示的線索是，如若想讓對稱性概念繼續引領研究人員做出新的發現，那麼它可能需要被修正並變得更精確。
#創作團隊：
編譯：小雨
排版：雯雯
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封面圖&首圖：J.F. Podevinvia princeton.edu