1975年12月期的《美國數學月刊》(The American Mathematical Monthly) 發表的一篇文章Period three implies chaos（《週期三則意味著混沌》），在數學上第一次創造了混沌一詞，引領了科學界和數學界探索自然演化和函數迭代過程中那些展現出未來不可預測性的新浪潮。該文不僅是從科學領域中提煉出數學洞見的典範之作，而且還以豐富的內涵反哺自然科學和工程技術。
撰文|丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
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我在上一篇《返樸》文章《氣象學家與數學家的混沌接力》中講到，是「混沌之父」 愛德華·洛倫茨揭示出天氣變化具有內在「蝴蝶效應」混沌本質的那篇重磅論文《確定性的非週期流》，催生出「李-約克混沌」的數學概念。然而他們據此而寫成的文章初稿卻差點與《美國數學月刊》（下稱「《月刊》」）失之交臂。
李-約克定理被老師提出、學生證明後，文章真的按照李天巖的 「玩笑式建議」投給了《月刊》。為什麼這麼漂亮的一個數學定理加上一個新定義的數學名詞「混沌」要投給一個數學上的「大眾雜誌」呢？約克自有打算，他深知這個來源於自然科學卻反過來又能為自然科學提供廣泛服務的數學定理將給科學界傳遞一個極其重要的資訊：確定性的世界中也會隱藏著隨機性，所以他想讓儘可能多的人了解並領會這個觀念。眾所周知，越是高深專門的學術期刊，讀者人數越是稀少，約克決心要讓天下的人都知道他和李天巖關於函數迭代的絕妙想法和驚人結果。《月刊》是全世界讀者人數最多的數學期刊，於是約克將希望傳播混沌之數學刻畫的目光投向了它。
然而，投稿結果卻遭遇了滑鐵盧，並且之後的故事甚至頗具戲劇性。文章投出去不久就被編輯退回，理由是該文寫得過於研究性，不太適合一般讀者，尤其是作為主要讀者群的大學生。因此編輯建議作者轉投研究型專業雜誌。或許編輯還是看到了此文數學內容的獨具魅力之處，在拒稿信的末尾又加寫了一句話：倘若把文章改寫到一般學生都能讀懂的地步，可以再投回《月刊》考慮。由於這句並非「多餘的話」，最後的結局讓這份雜誌與讀者一樣也獲益甚多：我的韓國裔師兄李弘九教授五年前曾告訴我，李-約克論文在明年將慶祝創刊130週年的《美國數學月刊》歷史上被引用次數排名第二高；根據「Google學術」上的記錄，它已被引用了超過5670次，這對通常而言引用次數遠非生命科學和工程技術等應用學科對手的數學文章而言，是極為罕見的。
但是，當時的李天巖實在太忙。他一生中最顯赫的三項數學貢獻都是在那兩三年做出來的，除了這項「週期三」的工作已寫出文章外，他還在繼續從事微分方程方面的研究，同時又在自己選修的一門研究生課程《非線性方程組數值解》中獲得靈感而穿梭於大學的計算中心和公寓之間，埋首於通過數值逼近構造性證明布勞威爾不動點定理，即將開闢出求解非線性方程組的「現代同倫延拓法」這一嶄新的疆場。他既沒有工夫修改這篇文章，也不知道怎麼改它。由於沒有新的應用論題的激勵，約克教授一時也缺乏動力按編輯的建議行事，於是乎，這篇文章就被他們放在一旁束之高閣了將近一年。
上天終於賜給他們一個修改文章的契機。1974年是馬里蘭大學數學系「情繫」生物數學的「特殊年」。這一年裡的每個禮拜都有「生物數學」領域裡的優秀學者來這裡演講。在五月份的第一個星期，普林斯頓大學冠名為「1977屆」的動物學講座教授羅伯特·梅被請來演講一週。在星期五的報告中，梅教授專門講述了他在種群動力學中迭代那個邏輯斯蒂對映後的種種發現：在繁殖率參數μ由3變到4的過程中，函數迭代點數列之最終性態令人眼花繚亂地愈變愈複雜。他對這一現象深感困惑，難以合理解釋，覺得或許是因為計算誤差從中作怪。聽完梅博士的報告後，約克在送他去往飛機場的途中，把自己和李天巖被冷淡了將近一年的那篇文章遞給他看。對方一讀到文章中得出的「週期三則亂七八糟」結論後，大為吃驚，馬上認定此定理大大解釋了他的疑問。（參見《一名生態學家的數學探索》）
約克從梅那裡獲得了修改文章的動力，他送客歸來後立刻跑到李天巖的辦公室大叫：「我們應該馬上改寫這篇文章！」文章在兩個星期內以更闡述性的寫作方式修改完畢，重新投回《月刊》，三個月後被編輯接受，並最終刊登在第八十二卷第十期上，頁碼為985-992，僅僅八頁長。
《美國數學月刊》1975年12月期
梅幸運地成了李-約克定理的第一個受惠人，所以也理所當然地充當了志願宣傳員的角色。同年夏天他去歐洲講演時，到處傳播李-約克定理，「李-約克混沌」的概念很快四處散開，也讓概念的兩位提出者聲名遠播。一篇並非刊登在頂尖數學期刊，而是發表在面向廣大讀者的闡述性數學雜誌上的文章，成了掀起數學界、科學界及工程界對混沌動力系統理論和應用研究新熱潮的開路先鋒之作。
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然而，新一波的戲劇性故事出現了。1975年，還在論文正式問世前，約克參加了在東德柏林舉辦的第七屆國際非線性振盪會議，當他做完關於「李-約克定理」的報告後，便和會議代表一道走上一條遊艇集體觀賞沿河美景，一個生於烏克蘭加盟共和國的蘇聯參會者發現他近在咫尺，便走了過去想與之交談，目的是告知對方自己十年前證明的一個定理。但這兩個人一個不會俄語，一個英文不佳，讓他們難以溝通。於是性急的烏克蘭數學家找來一位波蘭同行，但波蘭人只通法語，最後烏克蘭人又找到一個懂英文的法國人加入翻譯團隊，經過至少三種聯合國通用語言俄語、法語和英語的接力棒口譯，約克終於聽懂對方在向他宣稱早已證明了關於週期點模式的更廣結果。然而，為了保護神聖的智慧財產權，此人拒絕提供關於此更多的細節，只說他回國後會寄上論文。四個月以後，約克收到了那篇論文的影印件。果然如此，論文的結果非常漂亮，較李-約克定理中關於週期點的結論(i)更為一般。（參見《週期模式的發現者——紀念烏克蘭數學家沙可夫斯基》）
這位講俄語的數學家就是沙可夫斯基(Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky，1936-2022)，烏克蘭基輔人，於1964年在祖國的《烏克蘭數學雜誌》(Ukrainian Mathematical Journal) 第十六卷中刊登了一篇俄語論文，其標題的中文翻譯是「實數軸上到自身的連續對映循環之共存性」。在文章中他歷史上第一次對所有的自然數給出瞭如下的排序，現稱為沙可夫斯基序列：
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … , 即除1以外的所有奇數;
2n·3, 2n·5, 2n·7, 2n·9, … , n = 1, 2, 3, …, 即2n乘以第一行的每一個數;
…, 25, 24, 23, 22, 21, 20，即由大到小排列2 的所有次方。
然後他證明了如下的結果：
沙可夫斯基定理如果將實數軸映到自身的一個連續函數有周期為m的週期點，則對在沙可夫斯基序列中排在m 後面的任一個自然數n，該函數也有周期為n的週期點。
由於在沙可夫斯基序列中，3是排在首位的自然數，故上述定理的一個特別推論是：如果將實數軸映到自身的一個連續函數有周期為3的週期點，則對任一個自然數n，該函數也有周期為n的週期點。這恰恰是李-約克定理的結論(i)。然而，沙可夫斯基的定理就到此為止了，它沒有關於在該函數迭代過程中任何不規則行為的結論，而這個根本性的結論出現在李-約克定理的結論(ii)和(iii)中！
更進一步，真正的李-約克定理並非是幾乎所有知道李-約克論文標題或聽說過「李-約克混沌故事」卻沒有讀過原始論文的人們或許以為的「若週期三點存在，則結論如何如何」的那個形式，而是其假設條件更廣、應用價值更大的一顆數學藍寶石。在李天巖與約克的論文《週期三則意味著混沌》中，定理的假設遠比「存在週期三點」更為寬闊：存在一個點a，使得該點被給定連續函數持續迭代兩次後都變大，但在第三次迭代後卻跌落到小於或等於a，或a在該函數接連迭代兩次後都變小，但在第三次迭代後卻跳升到大於或等於a。如用代數不等式表示，就是
f3(a) ≤ a f(a) f2(a) 或 f3(a) ≥ a > f(a) > f2(a)。
而「週期三點存在」這一假設只是滿足如上條件的一個特例而已，亦即上面的廣義不等號「≤」或「≥」換成等號「=」。這個特殊的情形成就了文章的四個英文單詞精煉標題，但卻導致了一個小小的副作用，就是讓許許多多沒有讀過文章主體的人誤認為定理只對具有周期三點的連續函數成立。
於是，最準確的李-約克混沌定理是如下的命題表述：
李-約克定理設f是一個連續函數，將定義域區間映到自身。若在定義域中存在一點a使得
f3(a) ≤ a f(a) f2(a) 或 f3(a) ≥ a > f(a) > f2(a)，則
(ii)對任一自然數n，f有一個週期為n的週期點。
(ii)存在定義域的一個不可數的子集A，它不包含週期點，使得對A中任意兩個不同的點x0和y0，分別從它們出發的對應迭代點的距離數列
|fn(x0) – fn(y0)|
當n趨向於無窮大時，其下極限為0，而上極限大於0。
(iii)對A中任意一點x0及f的任一週期點p，分別從它們出發的對應迭代點的距離數列
|fn(x0) – fn(p)|
當n趨向於無窮大時，上極限大於0。
推論若連續函數f有周期-3點，則李-約克定理成立。
該推論可以這樣證明：設{a, b, c}是f的一個週期-3軌道，則f3(a) = a。若a b c或a > b > c，則李-約克定理的假設成立。若a c b或a > c > b，則週期-3軌道{b, c, a}滿足b > c > a或b c a；若b a c或b > a > c，則週期-3軌道{c, a, b}滿足c > a > b或c a b。所以定理的假設依然成立。 在混沌領域，具有周期三點的兩個最著名也最簡單的混沌連續函數，一個是與洛倫茨方程關係特別密切、在洛倫茨的《確定性的非週期流》文中露過臉的帳篷對映T: [0, 1] → [0, 1]，其圖象是底為單位線段[0, 1]、高為1的等腰三角形的兩腰之並，它的週期-3軌道是{2/7, 4/7, 6/7}；另一個是二次多項式函數q(x) = 4x(1-x)，它恰是梅傾心數值迭代的邏輯斯蒂對映族{μx(1-x)}中參數μ取最大允許值4時「最混沌」的那個，它的週期-3軌道是{sin2(π/7), sin2(2π/7), sin2(4π/7)}。這兩個最具代表性的混沌科學的案例都分別出自兩個傑出的混沌科學家。
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在打算用淺顯語言論證李-約克定理結論(i)之前，我先解釋一下結論(ii)和(iii)中出現的三個數學概念：不可數、上極限及下極限。「不可數」的反義詞是「可數」。一個集合如果其所有元素的個數與所有自然數的個數一樣多，即這些元素可以像自然數那樣排成一個無窮序列，則這個集合被稱為是可數的。反之，如果一個集合的元素個數比所有的自然數還要多，同時又至少和所有的無理數一樣多，那麼我們就說這個集合是不可數的。所有的實數全體，即把所有的有理數和所有的無理數放在一起，是不可數的。同樣地，任意兩個不同實數之間的所有實數也是不可數的。
定理的後兩個結論用到了數列的上極限和下極限概念，它們與理工科大學生熟悉的極限概念密切相關，但一般出現在數學系使用的《數學分析》或《高等微積分》教科書裡。一個有界的無窮數列可能不收斂，因而它不一定有極限，如正1與負1交替出現的數列{(-1)n-1}。但根據實數理論中有名的定理——波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理，有界數列總有收斂的子數列，其中所有收斂子數列極限中的最大值一定存在，這個數稱之為給定數列的上極限，同樣，所有收斂子數列極限中的最小值也一定存在，稱之為所給數列的下極限。因此數列{(-1)n-1}的上極限為1，而下極限為-1。一個數列收斂的充分必要條件是它的上極限等於下極限。
不太熟悉上極限、下極限概念的讀者可以這樣直觀地理解李-約克定理中的結論(ii)：在n趨向於無窮大的過程中，分別對應於相異初始點x0和y0的迭代點fn(x0)和fn(y0)無窮多次地相互靠近，即它們之間的距離數列有個子數列收斂到0（「彼此吸引」），卻又無窮多次地相互離開，即它們之間的距離數列有個子數列收斂到一個大於0的數（「彼此排斥」）。李-約克定理說明，存在比所有的自然數還要多的初始點x0，不僅由它們出發的迭代點數列 {fn(x0)} 不可能收斂，而且它們的最終性態也是不可預測的，其主要特徵表現在迭代點軌道對於初始條件的敏感依賴性。
因為定理的結論(iii)中的p代表了所有的週期點，這也隱含A中沒有周期點。結論(iii)本質上說，距離數列{|fn(x0) – fn(p)|}不可能趨向於0。因為{fn(p)}是一條週期軌道，這就意味著非週期軌道{fn(x0)}不是漸近週期的，即它不能趨向於任一條週期軌道。週期軌道的最終性態是可以預測的，而從A中任一點x0出發的迭代點軌道的最終走向是不可預測的。
李-約克定理中的那個不可數集合A也常被稱為一個「亂序集」，這裡的「亂序」是英文過去分詞scrambled的翻譯。一對點 x 和 y 被叫作亂序，如果將給定的函數重複應用於這對點，它們會靠得更近，然後分開，然後靠得更近，然後分開，等等，從而使它們可以任意地相互靠近，但又不可能永遠靠得很近。人生中這樣的經歷很多，比如經常吵架的夫妻好起來的時候可以「親密無間」，但一旦因小事導致彼此怒目而視就可能離得遠遠的。這和炒雞蛋是類似的現象，因此英語片語scrambled eggs的中文翻譯是「炒雞蛋」。常在家中廚房裡大炒雞蛋的動力系統學者可能最善於吸取李-約克混沌的精髓！如果一個集合的任意兩個不同的點都是亂序的，則稱該集合是亂序的。這樣，李-約克定理結論的第二部分可以簡寫為「存在定義域內一個不可數的亂序集。」
現在，我開始證明定理的結論(i)，但先證明其中n = 1的特殊情形，讓讀者熱一熱身後慢慢進入角色。然後我們考慮一般的情形，但如同李天巖教授所倡導並於2017年他一生中最後一次親手實踐的那樣，我不對大於 1的任意自然數n求證，而只對n = 4證之，因為思想的火花全在這裡閃爍。記b = f(a)，c = f(b)及d = f(c)。我只證明：若d ≤ a b c，則f具有一個週期為4的週期點。希望好學的讀者讀完證明後，用類似的方法補證：若d ≥ a > b > c，則同樣的斷言也對。
證明的基礎是初等微積分裡關於連續函數的「介值定理」；約克教授已在《返樸》文章《一個考分總拿C的學生是如何成為著名數學家的？》給出了該定理的證明。沒有學過它的人也會懂得它的幾何意義：定義在閉區間[a, b]上的一個連續函數的圖象，如果其兩端點各在x-軸的一邊，則它一定穿過x-軸。翻譯成代數語言，就是：如果閉區間[a, b]上的連續函數f滿足f(a)f(b) 0，則f在開區間(a, b)內一定有零點。這條性質有一重要的推論：連續函數將定義域中的區間映成區間。換言之，設I是連續函數f定義域的一個子區間，則它在f下的像f(I) = {f(x): x∈I}也是一個區間。這裡數學符號「∈」表示「屬於」，即它左邊的x是它右邊I的一個元素。區間具有「連通性」：如果一個區間包含兩點u v，則它包含閉區間[u, v]。這個性質將會像變魔術一般地在後面李-約克定理的證明中多次被玩。 介值定理的另一個推論是著名的布勞威爾不動點定理在一維情形時的特例：若定義在[a, b]上的連續函數f的值域f([a, b])包含在[a, b]內，則f在[a, b]中有不動點。要證明它，定義連續函數g(x) = f(x) – x。顯然g(a) = f(a) – a ≥ 0及g(b) = f(b) – b ≤ 0。若a或b是f的不動點，則推論得證，否則的話，必有g(a)g(b) 0，故由介值定理，開區間(a, b)內某個p是g的零點，它就是f的不動點。 上面眾所周知的不動點定理在這裡用不上，於是，博士生李天巖為了完成導師的光榮任務，用介值定理又造出一個不動點定理：若定義在[a, b]上的連續函數f的值域f([a, b])包含[a, b]，則f在[a, b]中有不動點。下面我來證明這個「李天巖不動點定理」： 由假設，閉區間[a, b]是值域區間f([a, b])的子集，故數a和b都在f([a, b]) 中，因而存在[a, b]中的兩個數α和β，使得a = f(α)及b = f(β)。既然α和β屬於[a, b]，就有如下的小於或等於關係：a ≤ α ≤ b及a ≤ β ≤ b。定義連續函數g(x) = f(x) – x，則 g(α) = f(α) – α = a – α ≤ 0， g(β) = f(β) – β = b – β ≥ 0。 這樣，介值定理保證在α和β之間有f的不動點（可能為α或β）。因為以α和β為兩端點的閉區間[α, β]或[β, α]是[a, b]的子區間，這個不動點屬於[a, b]。證畢。
李天巖只需想出最後一個「引理」就可以證明「約克猜想」為真了。它是：設f是閉區間I上的連續函數且[a, b]包含在值域f(I)之中，則I包含一個閉區間J使得f(J) = [a, b]。這裡我稱它為「李天巖引理」，它在後面關於李-約克定理結論(i)內n = 4時的證明中要被用到三次，而對一般n的情形證明時則要用n-1次，所以必須要證出它：
因為f(I)包含[a, b]，所以存在I中的兩點α和β使得f(α) = a及f(β) = b。設α β。令r為[α, β]中所有滿足等式f(r) = a的r中最靠近β的那個。它存在的理由是：如果只有有限個等式f(r) = a，那麼最靠近β的那個r一定存在（這和命題「有限個實數中有最大數」是同一個道理），如果有無窮多個這樣的等式，則需要更高深一點的論據了：存在單調遞增數列{rn}一步步向β挺進且滿足f(rn) = a，由單調收斂定理知{rn}收斂到極限r，因為f是連續函數，在恆等式f(rn) ≡ a中取n趨於無窮大時的極限，就有f(r) = a，這個r最靠近β。然後，出於同樣的理由，在r和β之間滿足f(s) = b的所有s中取最靠近r的那個。令J = [r, s]，則f(J) = [a, b]。讀者可用類似的論據對第二種情形α > β寫下證明。證畢。
好了，我們的裝備齊全了，可以攻克李-約克定理結論(i)。先證f有不動點，這相對簡單。採用該定理的所有符號，從假設f(b) = c和f(c) = d ≤ a b c及區間的連通性，可得如下關係 f([b, c]⊇[d, c]⊇[b, c]，其中符號「⊇」表示其左邊的集合包含右邊的集合。故由上述的李天巖不動點定理，連續函數f在區間[b, c]中有一個不動點。 現證f有一個週期為4的週期點。我們的策略是在區間[b, c]中找到一點p，滿足f4(p) = p。由上一段，f([b, c]⊇[b, c]，故根據李天巖引理，存在[b, c]的閉子區間，記為J1，使得f(J1) = [b, c]。取此等式兩邊集合在f下的像，就有
f2(J1) = f([b, c]⊇[b, c]。
第二次用李天巖引理，就存在J1的閉子區間，記為J2，使得f2(J2) = [b, c]。將f作用到此等式兩邊，換用新的區間包含關係，得到
f3(J2) = f([b, c]⊇[d, c]⊇[a, b]。
第三次用李天巖引理，就能找到J2的閉子區間，記為J3，使得f3(J3) = [a, b]。再將f作用於此等式，同時由定理假設f(a) = b及f(b) = c，我們發現
f4(J3) = f([a, b])⊇[b, c]⊇J1⊇J2⊇J3。
這時，李天巖不動點定理派上用場：由包含關係f4(J3)⊇J3，存在一點p∈J3，使得f4(p) = p。剩下的事是證明f(p), f2(p)及f3(p)都不會等於p，因而p是f週期為4的週期點。只需驗證f(p)∈[b, c], f2(p)∈[b, c]以及f3(p)∈[a, b)就足夠了，因為這樣的話，p不可能是週期小於4的週期點。為什麼？假如p的週期為1，則p = f(p)∈[b, c]及p = f3(p)∈[a, b)，但由於[a, b)與[b, c]的交集為空，導致矛盾；假如p的週期為2，則p = f2(p)∈[b, c]，故f(p) = f3(p) 既屬於[b, c]，又屬於[a, b)，還是矛盾；假如p的週期為3，則p = f3(p)∈[a, b)，但p∈J3⊆[b, c]，又是矛盾。
現在驗證f(p)∈[b, c], f2(p)∈[b, c]和f3(p)∈[a, b)。前兩個性質由已證的關係式
p∈J3⊆J2⊆J1⊆[b, c], f(J1) = [b, c], f2(J2) = [b, c]
直接推得。因為f3(J3) = [a, b], 我們有f3(p)∈[a, b]。如果f3(p) = b，則p = f4(p) = f(b) = c，由此 f(p) = f(c) = d ≤ a。然而，上面剛已證明f(p)∈[b, c]，這就走向f(p) ≤ a b ≤ f(p)的矛盾。 綜上所述，p是f的一個週期為4的週期點。證畢。 4
看懂如上數學推導過程的讀者一定會佩服邏輯推理的處處嚴密之妙。堅持求證精神，養成質疑習慣，能極大地保護我們不被當今網路世界中的不實資訊迷惑，因為邏輯的力量是強大的。這也是為何我寫作數學科普文章時不只滿足於講講故事，而是設法引導讀者思考、推理。
上面對於n = 4的證明思想對於一般n情形的李-約克定理結論(i)之證明別無二樣。此外結論(ii)和(iii)的證明思路依然出自上面，不過其演算過程更為繁複，我也不想多花讀者的時間了，感興趣者可以閱讀李-約克原始論文的附錄2。
有趣的是，李-約克定理中的條件無論是「深受束縛」的「週期三點存在」還是「放任自由」的「不等式假設」，定理的證明完全一樣，但後者更廣的條件就將「李-約克定理關於週期-n點的存在性結論是沙可夫斯基定理的特例」這一非真判斷掃進了垃圾堆。某些關於離散動力系統的教科書在講到週期點時只提沙可夫斯基定理，不提李-約克定理，作者或許就中了這個論斷的毒。
十一年前，當我撰寫科普著作《智者的困惑——混沌分形漫談》時，曾與李天巖教授通訊請教幾個歷史事件的來龍去脈。他在給我的一封信件中這樣比較李-約克定理和沙可夫斯基定理：
「我們定理的更一般假設和沙可夫斯基的序列有一個很大的不同，可是這在應用上卻有極大的差距。好比說在種群動力學上，種群的第一代和第二代都是在增長，但是在第三代卻突然大降，於是乎什麼‘鬼現象’都可能發生，但是第三代的種群數要降到和第一代一模一樣（意指週期三點存在）恐怕不大可能。從這個角度來看，沙可夫斯基序列也許比較適合放在象牙塔裡。」
這裡「象牙塔」的意思是為追求數學之美而研究數學，但罔顧其與自然界的深層關係。沙可夫斯基定理確實是離散動力系統這一門現代數學科目中的漂亮結果，但它也折射出一部分數學家的哲學理念。他們為了數學的光榮而做數學，以「數學無用」而自豪。他們當中最著名的代表人物就是上世紀英國傑出的純粹數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy，1877-1947)。他在經典隨筆《一個數學家的辯白》(A Mathematician’s Apology) 中稱那些在工程技術中應用廣泛的微積分是「缺乏美學價值的數學」，在他眼裡，最美的數學是沒有用途的。然而，正是微積分學中的介值定理，敲出了自然界中「週期三」的外殼緊緊裹住的「擬隨機硬核」。
這個表達確定性系統擬隨機性的數學名詞「混沌」首次被李-約克論文所創建。後人將在週期三的背景下產生的混沌特指為「李-約克混沌」，以別於從80年代起離散動力系統教科書中出現的更廣泛並且更標準的「混沌」定義。一個常採用的定義如下：函數f: [a, b] → [a, b]被稱為是混沌的，如果它在定義域上具有對初始條件的敏感依賴性，或它在所有的非最終週期點上都具有正的李雅普諾夫指數。這個著名的指數是關於對初始條件敏感依賴性的一個量化。也有一個「強混沌」定義：混沌函數f: [a, b] → [a, b]被稱為是強混沌的，如果它是傳遞的，並且所有的週期點在定義域中是稠密的。說f是「傳遞的」，意思是任給定義域內的非空開區間U和V，其中U被f一次次搬運後的「像序列」f(U), f2(U), f3(U), f4(U), …不可能都不與V相交，換句話說，存在正整數n，使得fn(U)和V有共同的元素。說週期點在定義域中是「稠密的」，意思是定義域中任一點x的任意小的一個「開鄰域」(x-ε, x+ε)，都包含f的週期點。從這兩個數學形容詞的解釋中就能窺見在強混沌中，迭代過程的有序性態與無序性態糾纏不清的一片混戰狀況。不過也應當指出，當今並沒有「放之四海而皆準」的統一的混沌定義，就如同至今也缺乏「什麼是數學」的完美回答一樣。
由此看來，對於混沌函數確定性意義下的迭代過程，絕大多數的迭代點軌道未來的走向是不可預測的，呈現出亂七八糟的最終狀態，似乎難以遵循普遍規律。然而，我們對此真的是一籌莫展嗎？在我們身在其中的自然世界，確定性與隨機性是並立於世的兩大客觀現象；對應地，研究隨機現象的數學——概率論，同樣在探索混沌迭代的歷程中扮演了不凡的角色。這時，一門綜合性數學學科——遍歷理論——身負重任出征疆場，把混沌這匹野馬調教得服服帖帖。